Number system part 2

संख्‍यात्‍मक अभियोग्‍यता में संख्‍या पद्धति पर शार्ट ट्रिक के पिछली पोस्‍ट को जारी रखते हुये आपको उसी विषय का कुछ और विवरण भाग दो में उपलब्‍ध करा रहे हैं और आप सभी के लिए संख्‍यात्‍मक अभियोग्‍यता और गणना को समझने के लिए और सरल बना रहे हैं। हम आशा करते हैं आप सभी को यह पोस्‍ट पसंद आयेगी।

1. सभी प्रथम n प्राकृतिक संख्‍याओं का योग =

उदाहरण के लिए - 1+ 2 +3 +…..+105 = 

2. प्रथम n विषम संख्‍याओं का योग= n²

 उदाहरण के लिए - 1+3+5+7= 4²= 16 ( जहॉं n=4 )

3. प्रथम n सम संख्‍याओं का योग= n (n+1)

उदाहरण के लिए - 2+4+6+8+….+100 (अथवा 50 सम संख्‍यायें) = 50 × (50+1) = 2550

4. प्रथम n प्राकृतिक संख्‍याओं के वर्गों का योग = 

उदाहरण के लिए - 1²+ 2² + 3² +………10²=   =385

5. प्रथम n प्राकृतिक संख्‍याओं के घनों का योग = 

उदाहरण के लिए - 1³+ 2³ + 3³ +………6³ =  (21)² =441

उदाहरण:-

1. 1 से 400 तक की सभी सम संख्‍याओं का योगफल क्‍या है?

हल- 1 से 400 तक, 400 संख्‍यायें हैं और यहाँ = 200 सम संख्‍यायें

     अत: योग= 200(200+1) = 40200 ( तृतीय नियम से)

2. 1 से 361 तक की सभी सम संख्‍याओं का योगफल क्‍या है?

हल- 1 से 361 तक 361 संख्‍यायें हैं और यहाँ = = 180 सम संख्‍यायें

    अत: योग= 180(180+1)=32580

3. 1 से 180 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल क्या है?

हल- यहाँ = 90 विषम संख्‍यायें, अत: योग = = 8100

4. 1 से 51 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल क्‍या है?

हल- यहाँ = 26 विषम संख्‍यायें, अत: योग = = 676

5. 20 से 101 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल क्‍या है?

हल- योगफल= 1 से 101 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल 1 से 20 तक की सभी विषम संख्‍याओं का योगफल

           = प्रथम 51 विषम संख्‍याओं का योगफल  = प्रथम 10 विषम संख्‍याओं का योगफल

           = (51)² – (10)² =2601 – 100 = 2501

विविध

1. विभाजन के प्रश्‍न में हमारे पास चार राशियाँ होती हैं- भाज्‍य, भाजक, भागफल और शेषफल

ये सभी एक सम्‍बन्‍ध से जुड़े हैं।

 भाज्‍य= (भाजक  भागफल) + शेष

2. जब भाग पूरा चला जाये अर्थात शेषफल शून्‍य हो। इस स्थिति में-

 भाज्‍य= (भाजक  भागफल)

उदाहरण- 1. किसी निश्चित संख्‍या से 24446 में भाग देने पर 79 भागफल तथा 35 शेष प्राप्‍त हो तो भाजक ज्ञात करो?

हल- भाजक  भागफल = भाज्‍य शेष

     79  भाजक = 24446 35= 24411

     भाजक = 24411  79 = 309

उदाहरण- 2. जब एक संख्‍या को 12 से विभाजित करते हैं तो 7 शेष बचता है। उसी संख्‍या को 7 से विभाजित करने पर क्‍या शेष बचेगा?

हल- हमने ऊ‏पर उदाहरण में देखा, पहला भाजक 12, दूसरे भाजक 7 का गुणज नहीं है। अब हम दो संख्‍यायें 139 और 151 लेते हैं, जो जब 12 से विभाजित की जाती है तो 7 शेष देती है। लेकिन जब हम ऊपर की दोनों संख्‍याओं को 7 से विभाजित करते हैं तो क्रमश: 6 तथा 4 शेष बचता है। इस प्रकार हम इस निष्‍कर्ष पर पहुँचते हैं कि प्रश्‍न गलत है।

धन्यवाद